포츠 모형

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 물리적 성질
- 4.1. 상전이
- 4.2. 임의 클러스터 모형과의 관계
5. 측도론적 기술
6. 응용
- 6.1. 신호 및 영상 처리
참조

1. 개요

포츠 모형은 격자 위에 정의되는 통계역학 모형으로, 각 격자점(꼭짓점)에 "스핀"이 위치하며, 스핀은 여러 값을 가질 수 있다. 표준 포츠 모형, 벡터 포츠 모형, 일반화된 포츠 모형 등이 있으며, n=2인 포츠 모형은 이징 모형과 동일하다. 이 모형은 상전이 연구에 유용하며, 2차원 표준 포츠 모형은 q 값에 따라 연속적 또는 불연속적인 상전이를 보인다. 또한, 임의 클러스터 모형과 밀접한 관련이 있으며, 분배 함수와 측도를 사용하여 수학적으로 분석할 수 있다. 포츠 모형은 신호 처리 및 영상 처리 분야에서도 활용된다.

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포츠 모형
개요
유형	통계 역학 모형
고안자	R. B. 포츠
발표	1951년
관련 모형	아이징 모형
설명
설명	포츠 모형(영어: Potts model)은 통계 역학의 모형이다. 아이징 모형의 일반화이며, 고체 표면의 흡착 현상, 강자성, 생물학적 세포의 거동 등을 묘사한다.
역사	1951년에 렌 포츠가 박사 학위 논문에서 도입하였다. 포츠 모형은 원래 클리퍼드 럴이 1943년에 발표한 애슈킨-텔러 모형의 일반화이다.
응용	고체 표면의 흡착 현상 강자성 생물학적 세포의 거동
참고 문헌	F. Y. Wu, Reviews of Modern Physics 54, 235 (1982) R. B. Potts, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 48, 106 (1952) J. Ashkin and E. Teller, Phys. Rev. 64, 178 (1943) François Graner and James A. Glazier, Phys. Rev. Lett. 69, 2013 (1992)

2. 정의

'''포츠 모형'''(Potts model)은 격자 위에 정의되며, 각 격자점에는 n개의 가능한 값 중 하나를 가지는 스핀이 존재한다. 스핀은 $\theta_i$ 로 표현되며, 가능한 값은 다음과 같다.

: $\theta_i\in\{0,2\pi/n,4\pi/n,6\pi/n,\dots,2\pi(n-1)/n\}$

포츠 모형은 표준 포츠 모형, 벡터 포츠 모형(시계 모형), 일반화된 포츠 모형으로 나뉜다.

2. 1. 표준 포츠 모형

'''''n''개 상태 포츠 모형'''은 격자 위에 정의되며, 격자의 각 꼭짓점

i

에는 ''n''개의 서로 다른 값을 가질 수 있는 "스핀"

\theta_i

가 위치한다.

표준 포츠 모형의 해밀토니언은 다음과 같다.

:

H=-\epsilon\sum_{\langle ij\rangle}\delta(\theta_i,\theta_j)

여기서

\delta

는 크로네커 델타이다.

\sum_{\langle ij\rangle}

은 변으로 연결돼 있는 꼭짓점 쌍

i,j

에 대한 합이다.

현재 표준 '''포츠 모형'''으로 알려진 것은 포츠가 연구 과정에서 제안한 것으로, 다음과 같은 더 간단한 해밀토니언으로 정의된다.

:

H_p = -J_p \sum_{(i,j)}\delta(s_i,s_j) \,

여기서

\delta(s_i, s_j)

는 크로네커 델타로,

s_i = s_j

일 때 1이고 그렇지 않으면 0이다.

q=2

표준 포츠 모형은 이징 모형 및 2상태 벡터 포츠 모형과 동일하며, 이때

J_p = -2J_c

이다.

q=3

표준 포츠 모형은 3상태 벡터 포츠 모형과 동일하며, 이때

J_p = -\frac{3}{2}J_c

이다.

2. 2. 벡터 포츠 모형 (시계 모형)

벡터 포츠 모형의 해밀토니언은 다음과 같다.

:

H=-\epsilon\sum_{\langle ij\rangle}\cos(\theta_i-\theta_j)

n=2,3

인 경우, 표준 포츠 모형과 벡터 포츠 모형은 서로 동등하고,

n=4

인 경우에도 연관지을 수 있다.

n>4

인 경우에는 표준 포츠 모형과 벡터 포츠 모형 사이에 알려진 관계가 없다.

n=2

인 포츠 모형은 이징 모형과 동등하며,

n\to\infty

인 벡터 포츠 모형은 (고전적) XY 모형으로 수렴한다.

돔(Domb)은 원래 스핀이 원에 균일하게 분포된

q

개의 가능한 값 가운데 하나를 가지며, 각도는 다음과 같다고 제안했다.

:

\theta_s = \frac{2\pi s}{q},

여기서

s = 0, 1, ..., q-1

이며 상호작용 해밀토니안은 다음과 같다.

:

H_c = J_c\sum_{\langle i, j \rangle} \cos \left( \theta_{s_i} - \theta_{s_j} \right)

합은 모든 격자 위치에서 인접한 이웃 쌍

\langle i,j \rangle

에 대해 실행되며,

J_c

는 상호작용 강도를 결정하는 결합 상수이다. 이 모형은 현재 '''벡터 포츠 모형''' 또는 '''시계 모형'''으로 알려져 있다. 포츠는

q = 3,4

에 대한 위상 전이의 2차원 위치를 제공했다.

q \to \infty

의 극한에서 이것은 XY 모형이 된다.

2. 3. 일반화된 포츠 모형

직접 결합 분석을 통해 단백질을 모델링하는 등 통계적 추론과 생물물리학에서 자주 사용되는 일반화된 포츠 모형은 각각

q

개의 상태를 가질 수 있는 '스핀'으로 구성된다.^[5]^[6] 이때 스핀은

s_i \in \{1,\dots,q\}

와 같이 특정 순서가 없다. 일반화된 포츠 모형의 해밀토니언은 다음과 같다.

:

H = \sum_{i < j} J_{ij}(s_i,s_j) + \sum_i h_i(s_i),

여기서

J_{ij}(k,k')

는 스핀

i

가 상태

k

에 있고 스핀

j

가 상태

k'

에 있을 때의 에너지 비용이며,

h_i(k)

는 스핀

i

가 상태

k

에 있을 때의 에너지 비용이다.

J_{ij}(k,k') = J_{ji}(k',k)

이다. 이 모형은 결합이 이질적이고 비국소적일 수 있다는 점에서 셔링턴-키르크패트릭 모형과 유사하며, 명시적인 격자 구조가 없다.

3. 역사

에드워드 텔러와 줄리어스 애시킨(Julius Ashkin^영어)이 1943년에 n=4인 벡터 포츠 모형을 고려하였다.^[16] 이 때문에 이 경우를 '''애시킨-텔러 모형'''(Ashkin–Teller model^영어)이라고도 한다.

일반적인 포츠 모형과 벡터 포츠 모형은 렌프리 포츠(Renfrey B. Potts^영어)가 1951년 박사 학위 논문에서 정의하였다.^[17]

4. 물리적 성질

포츠 모형은 상전이 연구에 유용한 모델이며, 임의 클러스터 모형과 밀접하게 관련되어 있다.

2차원 표준 강자성 포츠 모형의 임계점은 $\beta J = \log(1 + \sqrt{q})$이다.

포츠 모형은 포르투인-카스텔레인 임의 클러스터 모형과 밀접하게 관련되어 있으며, 다음 항등식을 통해 스핀 구성 $\{s_i\}$에 대한 합을 에지 구성 $\omega=\Big\{(i,j)\Big|s_i=s_j\Big\}$에 대한 합으로 변환할 수 있다.^[7]^[11]

:$e^{J_p\delta(s_i,s_j)} = 1 + v \delta(s_i,s_j) \qquad \text{ with } \qquad v = e^{J_p}-1 \ .$

이를 통해 분배 함수를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:$Z_p = \sum_\omega v^{\#\text{edges}(\omega)} q^{\#\text{clusters}(\omega)}$

여기서 '''FK 클러스터'''는 닫힌 세그먼트 $\cup_{(i,j)\in\omega}[i,j]$의 합집합의 연결된 구성 요소이다. 이는 열린 에지 확률 $p=\frac{v}{1+v}=1-e^{-J_p}$을 가진 임의 클러스터 모형의 분배 함수에 비례한다. 임의 클러스터 공식의 장점은 $q$가 자연 정수가 아닌 임의의 복소수일 수 있다는 것이다.

혹은, FK 클러스터 대신 다음 항등식을 사용하여 '''스핀 클러스터''' 관점에서 모형을 공식화할 수도 있다.

:$e^{J_p\delta(s_i,s_j)} = (1 - \delta(s_i,s_j)) + e^{J_p} \delta(s_i,s_j)\ .$

스핀 클러스터는 동일한 색상의 인접한 FK 클러스터의 합집합이다. 두 개의 인접한 스핀 클러스터는 서로 다른 색상을 가지며, 두 개의 인접한 FK 클러스터는 독립적으로 색칠된다.

4. 1. 상전이

포츠 모형은 상전이 연구에 유용한 모델 시스템이다. 2차원 표준 강자성 포츠 모형의 경우, 임계점은

\beta J = \log(1 + \sqrt{q})

이다. 상전이는

1 \leq q \leq 4

의 경우 연속적(2차)이며,

q > 4

의 경우 불연속적(1차)이다.

시계 모형의 경우,

q \leq 4

일 때 연속적인 상전이가 관찰되며, 해당 상전이가 무한 차수 BKT 전이라는 증거가 있다.

4. 2. 임의 클러스터 모형과의 관계

포츠 모형은 포르투인-카스텔레인 임의 클러스터 모형과 밀접하게 관련되어 있다. 이러한 관계는 스핀 구성 $\{s_i\}$에 대한 합을 에지 구성 $\omega=\Big\{(i,j)\Big|s_i=s_j\Big\}$에 대한 합으로 변환하여 나타낼 수 있다.^[7] 이 변환은 다음 항등식을 통해 이루어진다.^[11]

:$e^{J_p\delta(s_i,s_j)} = 1 + v \delta(s_i,s_j) \qquad \text{ with } \qquad v = e^{J_p}-1 \ .$

이를 통해 분배 함수를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:$Z_p = \sum_\omega v^{\#\text{edges}(\omega)} q^{\#\text{clusters}(\omega)}$

여기서 '''FK 클러스터'''는 닫힌 세그먼트 $\cup_{(i,j)\in\omega}[i,j]$의 합집합의 연결된 구성 요소이다. 이는 열린 에지 확률 $p=\frac{v}{1+v}=1-e^{-J_p}$을 가진 임의 클러스터 모형의 분배 함수에 비례한다. 임의 클러스터 공식의 장점은 $q$가 자연 정수가 아닌 임의의 복소수일 수 있다는 것이다.

혹은, FK 클러스터 대신 다음 항등식을 사용하여 '''스핀 클러스터''' 관점에서 모형을 공식화할 수도 있다.

:$e^{J_p\delta(s_i,s_j)} = (1 - \delta(s_i,s_j)) + e^{J_p} \delta(s_i,s_j)\ .$

스핀 클러스터는 동일한 색상의 인접한 FK 클러스터의 합집합이다. 두 개의 인접한 스핀 클러스터는 서로 다른 색상을 가지며, 두 개의 인접한 FK 클러스터는 독립적으로 색칠된다.

5. 측도론적 기술

1차원 포츠 모형은 유한 타입의 부분 시프트로 표현될 수 있으며, 전달 연산자 기법을 사용하여 정확하게 해결할 수 있다.^[5]^[6] 에른스트 이징은 1924년 박사 학위 논문에서 포츠 모형의 "조상"인 이징 모형을 풀기 위해 조합론적 방법을 사용했지만, 이 절에서는 이러한 해법의 배후에 있는 측도론에 기반한 수학적 형식을 설명한다.

아래 예시는 1차원 사례에 대해 개발되었지만, 많은 논리와 거의 모든 표기법이 임의의 차원으로 쉽게 일반화된다. 일부 형식은 XY 모형, 하이젠베르크 모형, N-벡터 모형과 같은 관련 모형을 처리할 만큼 광범위하다.

5. 1. 위상 공간

유한 타입의 부분 시프트로 표현될 수 있는 1차원 포츠 모형은 전달 연산자 기법을 사용하여 정확하게 해결할 수 있다. 이러한 해법의 배후에는 측도론에 기반한 수학적 형식이 있다.

상태 공간은 전체 시프트 또는 유한 타입의 부분 시프트를 사용하여 정의할 수 있다. ''Q'' = {1, ..., ''q''}를 유한한 기호 집합이라고 하고,

:

Q^\mathbf{Z}=\{ s=(\ldots,s_{-1},s_0,s_1,\ldots) :  s_k \in Q \; \forall k \in \mathbf{Z} \}

를 집합 ''Q''의 값으로 이루어진 모든 양방향 무한 문자열의 집합이라고 하자. 이 집합을 전체 시프트라고 부른다. 시프트는 이 공간에 자연스러운 연산자인 시프트 연산자 τ : ''Q''^'''Z''' → ''Q''^'''Z'''가 존재하기 때문에 이러한 이름을 가지며, 다음과 같이 작용한다.

:

\tau (s)_k = s_{k+1}

이 집합은 자연스러운 곱 위상을 갖는다. 이 위상의 기저는 원통 집합이다.

:

C_m[\xi_0, \ldots, \xi_k]= \{s \in Q^\mathbf{Z} : s_m = \xi_0, \ldots ,s_{m+k} = \xi_k \}

즉, ''k''+1개의 스핀이 주어진 특정 값 집합 ξ₀, ..., ξ_''k''에 정확히 일치하는 가능한 모든 문자열의 집합이다.

5. 2. 상호작용 에너지

스핀 간의 상호작용은 연속 함수 ''V'' : ''Q''^'''Z''' → '''R'''로 주어진다. 어떤 연속 함수도 사용할 수 있다. 예를 들어,

:

V(s) = -J\delta(s_0,s_1)

는 가장 가까운 이웃 간의 상호작용을 나타낸다. 다른 함수는 다른 상호작용을 제공하며, ''s''₀, ''s''₁ 및 ''s''₂의 함수는 다음으로 가까운 이웃 상호작용을 설명한다. 함수 ''V''는 스핀 집합 간의 상호작용 에너지를 제공하며, 해밀토니안을 구축하는 데 사용된다. 함수 ''V''의 인수는 ''s'' ∈ ''Q''^'''Z''', 즉, 스핀의 무한 문자열이다. 위의 예에서 함수 ''V''는 무한 문자열에서 두 개의 스핀 ''s''₀ 및 ''s''₁만 선택했다. 일반적으로 함수 ''V''는 일부 또는 모든 스핀에 의존할 수 있으며, 현재 유한 수에 의존하는 스핀만 정확하게 풀 수 있다.

함수 ''H_n'' : ''Q''^'''Z''' → '''R'''은 다음과 같이 정의된다.

:

H_n(s)= \sum_{k=0}^n V(\tau^k s)

이 함수는 스핀 구성 [''s''₀, ''s''₁, ..., ''s_n'']의 자기 에너지와 이 집합과 격자의 다른 모든 스핀의 상호작용 에너지, 두 부분으로 구성된 것으로 볼 수 있다. 이 함수의 ''n'' → ∞ 극한은 시스템의 해밀토니안이며, 유한 ''n''의 경우 이를 '''유한 상태 해밀토니안'''이라고 한다.^[5]^[6]

5. 3. 분배 함수와 측도

해당 유한 상태의 분배 함수는 다음과 같이 주어진다.

:

Z_n(V) = \sum_{s_0,\ldots,s_n \in Q} \exp(-\beta H_n(C_0[s_0,s_1,\ldots,s_n]))

여기서 ''C''₀는 위에 정의된 원통 집합이다. 여기서 β = 1/''kT''이고, ''k''는 볼츠만 상수이며 ''T''는 온도이다. 상호작용 에너지를 재조정하여 쉽게 되찾을 수 있으므로 수학적 처리에 있어서 β = 1로 설정하는 것이 매우 일반적이다. 이 분배 함수는 상호작용의 함수임을 강조하기 위해 상호작용 ''V''의 함수로 작성되며, 스핀의 특정 구성의 함수가 아니다. 분배 함수는 해밀토니안과 함께 다음과 같은 방식으로 보렐 시그마 대수에서 측도를 정의하는 데 사용된다. 즉, 기저의 요소인 원통 집합의 측도는 다음과 같다.

:

\mu (C_k[s_0,s_1,\ldots,s_n]) =  \frac{1}{Z_n(V)}  \exp(-\beta H_n (C_k[s_0,s_1,\ldots,s_n]))

5. 4. 자유장 해

상호 작용이 없는 가장 간단한 모형의 경우, ''V'' = ''c''이고 ''H_n'' = ''c''이다. (여기서 ''c''는 상수이며 스핀 구성에 의존하지 않는다.) 이때 분배 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

Z_n(c) = e^{-c\beta} \sum_{s_0,\ldots,s_n \in Q} 1

만약 모든 상태가 허용된다면, 즉 기본 상태 집합이 전체 시프트에 의해 주어진다면, 분배함수는 다음과 같이 간단하게 계산된다.

:

Z_n(c) = e^{-c\beta} q^{n+1}

만약 인접한 스핀이 특정 구성에서만 허용되는 경우, 상태 공간은 유한 타입의 부분 시프트에 의해 주어진다. 이때 분배 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

Z_n(c) = e^{-c\beta} |\mbox{Fix}\, \tau^n| =  e^{-c\beta} \mbox{Tr} A^n

여기서 card는 집합의 기수 또는 개수를 의미하며, Fix는 반복 시프트 함수의 고정점 집합이다.

:

\mbox{Fix}\, \tau^n =  \{ s \in Q^\mathbf{Z} : \tau^n s = s \}

''q'' × ''q'' 행렬 ''A''는 인접한 스핀 값이 허용되는지를 나타내는 인접 행렬이다.

5. 5. 상호작용 모형

이징 모형은 가장 간단한 상호작용 모형의 예시이다. 이징 모형에서 스핀은 -1 또는 1의 두 값 중 하나만 가질 수 있으며, 가장 가까운 이웃 스핀만 상호작용한다. 상호작용 포텐셜은 다음과 같다.

:

V(\sigma) = -J_p s_0 s_1\,

이 포텐셜은 다음과 같은 행렬 원소를 가진 2 × 2 행렬로 나타낼 수 있다.

:

M_{\sigma \sigma'} = \exp \left( \beta J_p \sigma \sigma' \right)

여기서 인덱스 σ, σ′ ∈ {−1, 1}이다. 분배 함수는 다음과 같다.

:

Z_n(V) = \mbox{Tr}\, M^n

임의의 스핀 개수와 유한 범위 상호작용에 대한 일반적인 해도 동일한 형태를 따른다. 이 경우, 행렬 ''M''의 정확한 표현식은 조금 더 복잡하다.

6. 응용

포츠 모형은 신호 재구성에 응용된다. '''R'''^''n''에서 구간별로 상수인 신호 ''g''의 잡음이 섞인 관찰이 주어졌다고 가정할 때, 잡음이 섞인 관찰 벡터 ''f'' in '''R'''^''n''에서 ''g''를 복구하기 위해, 다음과 같이 정의되는 해당 역 문제, 즉 ''L^p''-포츠 함수 ''P''_γ(''u'')의 최소화 해를 찾는다.

: $P_\gamma(u) = \gamma \| \nabla u \|_0 + \| u-f\|_p^p = \gamma \# \{ i : u_i \neq u_{i+1} \} + \sum_{i=1}^n |u_i - f_i|^p$

점프 페널티 $\| \nabla u \|_0$ 는 구간별 상수 해를 강제하고, 데이터 항 $\| u-f\|_p^p$ 는 최소화 후보 ''u''를 데이터 ''f''에 연결한다. 파라미터 γ > 0은 규칙성과 데이터 충실도 사이의 균형을 조절한다. ''L''¹ 및 ''L''²-포츠 함수를 정확하게 최소화하는 빠른 알고리즘이 있다.^[12]

영상 처리에서 포츠 함수는 분할 문제와 관련이 있다.^[13] 그러나 2차원에서는 이 문제가 NP-hard(NP-난해)이다.^[14]

6. 1. 신호 및 영상 처리

포츠 모형은 신호 재구성에 응용된다. '''R'''^''n''에서 구간별로 상수인 신호 ''g''의 잡음이 섞인 관찰이 주어졌다고 가정하자. 잡음이 섞인 관찰 벡터 ''f'' in '''R'''^''n''에서 ''g''를 복구하기 위해, 다음과 같이 정의되는 해당 역 문제, 즉 ''L^p''-포츠 함수 ''P''_γ(''u'')의 최소화 해를 찾는다.

:

P_\gamma(u) = \gamma \| \nabla u \|_0 + \| u-f\|_p^p = \gamma \# \{ i : u_i \neq u_{i+1} \} + \sum_{i=1}^n  |u_i - f_i|^p

점프 페널티

\| \nabla u \|_0

는 구간별 상수 해를 강제하고, 데이터 항

\| u-f\|_p^p

는 최소화 후보 ''u''를 데이터 ''f''에 연결한다. 파라미터 γ > 0은 규칙성과 데이터 충실도 사이의 균형을 조절한다. ''L''¹ 및 ''L''²-포츠 함수를 정확하게 최소화하는 빠른 알고리즘이 있다.^[12]

영상 처리에서 포츠 함수는 분할 문제와 관련이 있다.^[13] 그러나 2차원에서는 이 문제가 NP-hard이다.^[14]

참조

_[1] 논문 The Potts model https://link.aps.org[...] 1982-01-01
_[2] 논문 Some generalized order-disorder transformations https://www.cambridg[...] 1952-01
_[3] 논문 Statistics of Two-Dimensional Lattices with Four Components https://link.aps.org[...] 1943-09-01
_[4] 논문 Simulation of biological cell sorting using a two-dimensional extended Potts model https://link.aps.org[...] 1992-09-28
_[5] 논문 Selection of sequence motifs and generative Hopfield-Potts models for protein families https://link.aps.org[...] 2019-09-19
_[6] 논문 A high-bias, low-variance introduction to Machine Learning for physicists 2019-05-30
_[7] 논문 The self-dual point of the two-dimensional random-cluster model is critical for q ≥ 1 2012-08-01
_[8] 논문 Continuity of the Phase Transition for Planar Random-Cluster and Potts Models with $${1 \le q \le 4}$$ https://doi.org/10.1[...] 2017-01-01
_[9] 간행물 Discontinuity of the phase transition for the planar random-cluster and Potts models with $q>4$ 2017-09-05
_[10] 논문 Interfacial adsorption in planar potts models https://doi.org/10.1[...] 1983-06-01
_[11] 서적 Surveys in Combinatorics 2005
_[12] 논문 Complexity Penalized M-Estimation: Fast Computation 2008
_[13] 논문 Efficient Inference in Fully Connected CRFs with Gaussian Edge Potentials https://proceedings.[...] Curran Associates, Inc. 2011
_[14] 논문 Fast approximate energy minimization via graph cuts https://ieeexplore.i[...] 2001-11
_[15] 논문 Critical properties of the two-dimensional $q$-state clock model 2020
_[16] 논문 Statistics of Two-Dimensional Lattices With Four Components 1943
_[17] 논문 Some generalized order–disorder transformations 1952-01

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